编程之美第一篇 01分数规划-白红宇

编程之美第一篇 01分数规划

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发布时间：2019-06-27

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01分数规划

01分数规划问题其实就是解决单价之类的问题，假设给你n个物品，让你找出选k个物品的最大单价；例如南阳oj：Yougth的最大化；解决这类问题可以用二分查找，这类问题跟二分极大化最小值，极小化最大值有一些相似的地方，均是从结果出发，来进行二分查找；例如上面南阳那道题，可以转化一下；

由于v/w=单价；所以v=w*单价；即v-w*单价=0；有了这个关系，我们马上可以想到二分来查找这个值；

那么我们可以定义一个count数组来记录v-w*单价的值；由于选k个只需要把count从大到小排下序就可以了；然后就是二分了；这类问题就是01分数规划问题；

代码实现：

#include
     
      #include
      
       #define MAX(x,y) x>y?x:yusing namespace std;const int MAXN=10010;struct Node{int v,w;};Node res[MAXN];double cont[MAXN];int n,k;int fun(double mid){
        for(int i=0;i
       
        =n-k;i--)sum+=cont[i];     //printf("%lf\n",mid);    return sum>=0?1:0;}double abs(double x){    return x>0?x:-x;}double search(double max){
        double left=0,right=max,mid;    while(right-left>1e-10){mid=(left+right)/2;        if(fun(mid))left=mid;        else right=mid;    }    return mid;}int main(){    while(~scanf("%d%d",&n,&k)){double max=0;        for(int i=0;i

　　与这个题相似的还有poj Dropping tests；这个题意是：

给你n个数，让求删除k个数后

的最大值；

跟南阳那个题很相似，只需要找n-k个数即可；

代码实现：

#include
     
      #include
      
       #include
       
        #include
        
         #include
         
          using namespace std;const int MAXN=10010;struct Node{    int a,b;};Node dt[MAXN];double d[MAXN];int n,k;bool fsgh(double R){    double sum=0;    for(int i=0;i
          
           =n-k;i--)sum+=d[i]; return sum>0?true:false;}double erfen(double l,double r){ double mid; while(r-l>1e-6){ mid=(l+r)/2; if(fsgh(mid))l=mid; else r=mid; } return mid;}int main(){ while(scanf("%d%d",&n,&k),n|k){ double mx=0; k=n-k; for(int i=0;i

　　另外01分数规划还可以与图论结合在一起；例如：

和最小生成树结合在一起让你求一棵最优比率生成树；例如 poj Desert King；

题意：有N个村庄，给出每个村庄的坐标和海拔,，benifit为两点之间的距离，cost为两点的高度差，现在要求一棵树使得 cost / benift 最小；

咋一看跟01分数规划还真像，但是让求的是一棵树，我们该怎么办？其实就是求一个最小生成树罢了，最小生成树里面的low数组代表的是啥？权值！那直接把low数组里面的值换成cost-benift*R就好了，然后就是一个二分问题了；

代码实现：

#include
     
      #include
      
       #include
       
        #include
        
         #include
         
          #define mem(x,y) memset(x,y,sizeof(x))using namespace std;const int INF=0x3f3f3f3f;typedef long long LL;const int MAXN=1010;double vis[MAXN],low[MAXN];int N;double R;struct Node{    double x,y,h;};Node dt[MAXN];double len[MAXN][MAXN],cost[MAXN][MAXN];double getl(Node a,Node b){    double x=b.x-a.x,y=b.y-a.y;    return sqrt(x*x+y*y);}bool prime(){    double total;    mem(vis,0);    for(int i=0;i
          
           cost[k][j]-R*len[k][j])low[j]=cost[k][j]-R*len[k][j]; } //printf("total=%lf R=%lf\n",total,R); if(total>0)return true; else return false;}int main(){ while(scanf("%d",&N),N){ mem(len,INF); mem(cost,INF); double mxl=-INF,mil=INF,mxc=-INF,mic=INF; for(int i=0;i
           
            1e-4){ R=(l+r)/2; if(prime())l=R; else r=R; } printf("%.3f\n",l); } return 0;}

另外01分数规划还可以与最短路结合在一起；求一个最优比率环；例如poj Sightseeing Cows;

题意：这个人带牛旅行，旅行每个城市会有幸福度，通过每个城市会花费时间，让找平均每秒的最大幸福度；

注意这题是让求最大的，好像我们前面讲的都是最小的，那该怎么办呐？很简单以前是hp-R*t;转成R*t-hp不就好了吗？照样转化成最短路问题；但是可能产生负边啊；对了就是负边，二分就是从负边出发的，有负边证明t太大，没有t小，这就是二分的一个条件；由于负边我们可以用bellman，或者邻接表解决；

代码实现：

#include
     
      #include
      
       #include
       
        #include
        
         #include
         
          #include
          
           #define mem(x,y) memset(x,y,sizeof(x))using namespace std;const int INF=10000000000000;typedef long long LL;const int MAXN=1010;const int MAXM=100010;/*struct Node{ int u,v; double t;}; Node dt[MAXM];*/struct Edge{ int from,to,next,t;};Edge edg[MAXM];int head[MAXM];int edgnum;void add(int u,int v,int t){ Edge E={u,v,head[u],t}; edg[edgnum]=E; head[u]=edgnum++;}int L,P;double hp[MAXN],dis[MAXN];int usd[MAXN],vis[MAXN];/*void add(int u,int v,double t){ Node E={u,v,t}; dt[edgnum++]=E;}*///double R;/*bool Bellman(){ mem(dis,INF); mem(usd,0); dis[1]=0; while(1){ int temp=0; for(int j=0;j
           
            dis[u]+R*t-hp[u])usd[v]++,dis[v]=dis[u]+R*t-hp[u],temp=1; if(usd[v]>L)return false; } if(!temp)return true; }}*/bool SPFA(double R){ queue
            
             dl; while(!dl.empty())dl.pop(); for(int i=1;i<=L;i++){ dis[i]=INF; vis[i]=0; usd[i]=0; } dl.push(1); vis[1]=1; usd[1]++; dis[1]=0; while(!dl.empty()){ int u=dl.front(); dl.pop(); vis[u]=0; for(int i=head[u];i!=-1;i=edg[i].next){ int v=edg[i].to,t=edg[i].t; if(dis[v]>dis[u]+R*t-hp[u]){ dis[v]=dis[u]+R*t-hp[u]; if(!vis[v]){ vis[v]=1; usd[v]++; dl.push(v); // printf("%d\n",usd[v]); if(usd[v]>=L)return false; } } } } return true;}int main(){ int a,b; int c; while(~scanf("%d%d",&L,&P)){ edgnum=0; double mih=INF,mxh=-INF; int mit=INF,mxt=-INF; mem(head,-1); for(int i=1;i<=L;i++){ scanf("%lf",hp+i); mih=min(mih,hp[i]); mxh=max(mxh,hp[i]); } while(P--){ scanf("%d%d%d",&a,&b,&c); add(a,b,c); mit=min(mit,c); mxt=max(mxt,c); } double l=mih/mxt,r=mxh/mit; // printf("%f %f\n",l,r); double R; while(r-l>=0.001){ R=(l+r)/2; if(SPFA(R))r=R; else l=R; } printf("%.2f\n",l); } return 0;}

01分数规划是一个基本而且有用的算法，可以与图论连用，也可以与数据结构一起用；

上面提到的题解详情请见：

转载请附上地址：

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